みなさんおはこんばんにちは。
胃がムカムカしているジルでございます！
前回まで『順列』『組み合わせ』についての解説記事、頻出問題の解説をしてきました。
今回はそれらに繋がる分野『確率』についての解説記事です。
『確率』の定義
『確率』の性質
余事象
和事象の確率『排反』
以前に書いた記事の続きになりますのでもし見ていない方はこちらからご覧ください！
必須語句の解説
まずは試行と事象について
なんか難しいこと言ってる気がするぞ…:(；ﾞﾟ’ωﾟ’):
日本語にすると難しいですが、言っていることは単純です。
後ほど具体例を用いて説明しますね！
次に全事象と根元事象、空事象について
全事象を集合Uで表す時、Uのただ１つの要素からなる集合で表される事象を根元事象という。
根元事象を１つも含まない事象を空事象という。
色々難しいことを書いてありますが、別にこの説明を暗記する必要はありません。「こういうものなんだな。」くらいで頭に軽く入れといて頂いたらオッケーです（＾∇＾）
『確率』の定義
肝心の『確率の定義』を見ていきましょう。
$P(A)=\frac{事象Aが起こる場合の数}{試行で起こり得る全ての場合の数}$
これは確率で全ての元となる計算式です。
とはいえまあ無理に覚えなくても、問題を解いていけば勝手に頭に入ります。
『確率』の性質
確率の基本的な性質をしっかり覚えましょう。
②全事象Uについて、$P(U)=1$
③空事象Φについて、$P(Φ)=0$
余事象
$P(A)+P(\overline{A})=1$
『Aの余事象』とは、ある事象Aについてそれが起こらない事象のことです。
具体的な問題は後でやりますので詳しくここでは述べませんが、
$P(A)+P(\overline{A})=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$
になります( ´∀｀)
和事象の確率『排反』
A,Bが互いに排反であるならば
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
A,Bが互いに排反でないならば
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$
『A,Bが互いに排反である』とは「事象Aと事象Bは同時に起こらない」ということです。
では今まで学んだことを使って練習問題を解いてみましょう！
練習問題①：サイコロの問題
２つのサイコロを同時に投げる。この時次の確率を求めなさい。
（１）目の数が同じ。
（２）各目の和が７。
（３）各目の差が２。
（４）各目の積が６。
サイコロの確率問題はメチャ出題されますので絶対に解けるようにしましょう！
まず最初にサイコロの目の出方が何通りかについて
みなさんご存知の通り、サイコロの目は{１}{２}{３}{４}{５}{６}の６通り
サイコロが２つあるので
６通りが６パターンあるので$6 \times 6=36$
サイコロの数が増えたらその分６を掛ければオッケーです。
$6^n=6 \times 6 \times …$
$P(A)=\frac{事象Aが起こる場合の数}{試行で起こり得る全ての場合の数}$
より
$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
答えは$\frac{1}{6}$。
（２）各目の和が７。
当てはまる場合は
(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)
の６通り。よって
$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
答えは$\frac{1}{6}$。
（３）各目の差が２。
当てはまる場合は
(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)(3,1)(4,2)(5,3)(6,4)
の８通り。よって
$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$
答えは$\frac{2}{9}$。
（４）各目の積が６。
当てはまる場合は
(1,6)(2,3)(3,2)(6,1)
の４通り。よって
$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
答えは$\frac{1}{9}$。
練習問題②：コインの問題
コイン３枚を同時に投げる。この時少なくとも１回は表が出る確率を求めなさい。
まずは起こり得る全ての場合の数を求めます。
したがって8通り。
$2^n$
実はこの問題、もう少し簡単に解ける別解があるんです…(￣∀￣)
余事象を使って解く方法です。
「少なくとも１回表が出る」事象の余事象は「全て裏が出る」事象です。
全て裏の場合はもちろん１通りですよね？よって
$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
これだけで計算できます。
練習問題③：クジの問題
クジを５０本用意する。中には１等〜３等が入っており、その数は
１等：１本、２等：５本、３等：１７本
このクジを１回引いた時、１等、２等、３等のうちどれか当たる確率を求めなさい。
起こり得る全ての場合の数はクジの数である５０です。
まずはそれぞれ引く確率を求めます。
１等を引く確率…$\frac{1}{50}$
２等を引く確率…$\frac{5}{50}$
３等を引く確率…$\frac{17}{50}$
そして１等、２等、３等を引く確率はそれぞれ排反であるため、１等または２等または３等を引く確率はそれぞれ引く確率を足せばいいんです。よって
$\frac{1}{50}+\frac{5}{50}+\frac{17}{50}=\frac{23}{50}$
答えは$\frac{23}{50}$。
まとめ
同じ条件で繰り返して行う実験や観測を試行といい、試行結果として怒ることを事象という。
１つの試行で起こった全ての結果を全事象という。
全事象を集合Uで表す時、Uのただ１つの要素からなる集合で表される事象を根元事象という。
根元事象を１つも含まない事象を空事象という。
ある試行について起こる事象Aの確率をP(A)で表す。
$P(A)=\frac{事象Aが起こる場合の数}{試行で起こり得る全ての場合の数}$
ある事象Aについて、その余事象を$P(\overline{A})$と表す。この時
$P(A)+P(\overline{A})=1$
ある事象A,Bがあり、その和事象$P(A \cup B)$について
A,Bが互いに排反であるならば
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
A,Bが互いに排反でないならば
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$
数学が苦手な人って確率は何故かできる人多い印象です。
確かにその印象があります！何故なんでしょうね笑
次の記事はもう少し掘り下げて行くのでぜひご覧ください(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
楽しい数学Lifeを！
