みなさんおはこんばんにちは。
元大学数学科のジルでございます！
前回に引き続き
『二項定理』
についての学習です。
前回は二項定理の基礎の記事を書きました。
本記事では二項定理を使った応用問題を解説しますので不安な方はまずこちらから見てみてください(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
$(a+b)^n={}_n \mathrm{ C }_0a^n+{}_n \mathrm{ C }_1a^{n-1}b+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r
+…+{}_n \mathrm{ C }_nb^n$
$(a+b)^n$の一般項は
${}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}a^{n-r}b^r$
$(1+x)^n$に二項定理を適用しよう
今回紹介する応用問題で必要になる知識として$(1+x)^n$に二項定理を適用してみましょう。みなさん分かりますか？
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_01^n+{}_n \mathrm{ C }_11^{n-1}x^1+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_k1^{n-k}x^k+…+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
$1^n=1$なので省略して
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_kx^k+…+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
あとで使うので覚えておきましょうね！暗記しなくても、これ利用するっぽいなあってわかるだけでも構いません。
応用問題①
を証明しなさい。
まずは左辺と右辺を入れ替えましょう。
$2^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
先ほどの
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_kx^k+…+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
ふたつの二項定理の左辺を比較してみましょう。$2^n$と$(1+x)^n$について
「x=1を代入すれば等しくなる」ことに気づいたでしょうか？
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_kx^k+…+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
の両辺にx=1を代入してみましょう。
$(1+1)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \times 1+…+{}_n \mathrm{ C }_k \times 1^k$
$+…+{}_n \mathrm{ C }_n \times 1^n$
左辺を計算して、さらに右辺について1は何乗しても1なので
$2^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
これは設問と一致するので証明完了。
同じやり方で
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…$
$+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0$
も証明できます。やってみてください。（解答は下の「練習問題の解」に書いておきます。）
応用問題②
${}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+{}_n \mathrm{ C }_5+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
$={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_2+{}_n \mathrm{ C }_4+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$
を証明しなさい。
応用問題①と関連ある問題です。もしまだやっていない方はそちらからどうぞ。
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+…+{}_n \mathrm{ C }_kx^k+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
を利用して導き出せる
${}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
$=2^n$…①
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…$
$+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0$…②
を利用します。
ここでひとつ注意。②について、nは3以上の奇数であるため、
$(-1)^n=-1$になります。なので②は
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…-{}_n \mathrm{ C }_n=0$…②
となります（この等式を改めて②としましょう）。
${}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n$…①
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…-{}_n \mathrm{ C }_n=0$…②
証明する等式の左辺を見てみましょう。
${}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+{}_n \mathrm{ C }_5+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
これって
${}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n$…①
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…-{}_n \mathrm{ C }_n=0$…②
について、それぞれの左辺から${}_n \mathrm{ C }_0,{}_n \mathrm{ C }_2,…,{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$を取り除けば設問の左辺に近づけることに気づきましたか？
そのためにどうすれば良いのか？そうだね、①-②をすれば良いんですね！
①-②をしましょう。左辺と右辺で分けて見てみましょうね。
（①の左辺）-（②の左辺）
$({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n)$
$-({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…-{}_n \mathrm{ C }_n)$
$=2{}_n \mathrm{ C }_1+2{}_n \mathrm{ C }_3+…+2{}_n \mathrm{ C }_{n-2}+…+2{}_n \mathrm{ C }_n$
（①の右辺）-（②の右辺）は$2^n$
つまり
①-②
$2{}_n \mathrm{ C }_1+2{}_n \mathrm{ C }_3+…+2{}_n \mathrm{ C }_{n-2}+…+2{}_n \mathrm{ C }_n$
$=2^n$
左辺をまとめて
$2({}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-2}+…+{}_n \mathrm{ C }_n)=2^n$
両辺を2で割って
${}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-2}+…+{}_n \mathrm{ C }_n=2^{n-1}$…③
次に証明する等式の右辺について
${}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_2+{}_n \mathrm{ C }_4+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$
${}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n$…①
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…-{}_n \mathrm{ C }_n=0$…②
について、それぞれの左辺から${}_n \mathrm{ C }_1,{}_n \mathrm{ C }_3,…,{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$を取り除けば設問の右辺に近づけますね。
①+②をしてみましょう。さっきより少し端折っちゃいます。
$2{}_n \mathrm{ C }_0+2{}_n \mathrm{ C }_2+…+2{}_n \mathrm{ C }_{n-3}+…+2{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$
$=2^n$
左辺をまとめて
$2({}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-3}+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-1})$
$=2^n$
両辺を2で割って
${}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_3+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-3}+…+{}_n \mathrm{ C }_{n-1}$
$=2^{n-1}$…④
③と④の右辺が等しいので、設問の等式が証明されました。
練習問題の解
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…$
$+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0$
を証明しなさい。
左辺右辺入れ替えて
$0={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+…+{}_n \mathrm{ C }_k+…+{}_n \mathrm{ C }_n$
$(1+x)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1x+…+{}_n \mathrm{ C }_kx^k+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_nx^n$
について、x=-1を代入して
$(1-1)^n={}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \times (-1)+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_k \times (-1)^k+…+{}_n \mathrm{ C }_n \times (-1)^n$
${}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+…+(-1)^k{}_n \mathrm{ C }_k+…+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n$
$=0$
これは設問と一致するので証明完了。
まとめ
$(a+b)^n={}_n \mathrm{ C }_0a^n+{}_n \mathrm{ C }_1a^{n-1}b+…$
$+{}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r
+…+{}_n \mathrm{ C }_nb^n$
$(a+b)^n$の一般項は
${}_n \mathrm{ C }_ra^{n-r}b^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}a^{n-r}b^r$
頑張ってたくさん解きましょうね(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
楽しい数学Lifeを！
