【高校数I】正弦定理・余弦定理を元数学科が解説する【苦手克服】

今回は三角比において大変重要で便利な定理を紹介します！

 

『正弦定理』、『余弦定理』

になります。

 

正弦定理

まずはこちら正弦定理になります。

 

次のような円において、その半径をRとすると

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

 

 

 

余弦定理

次はこちら余弦定理です。

 

において

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

が成立します。

 

余弦定理から分かること

 

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$を用いると１つ分かることがあります。

$2bc\cos A$に注目しましょう。

$\cos A$について

$0° \leqq A \lt 90°  ⇨   \cos A \gt 0$

$A = 90°   ⇨   \cos A = 0$

$90° \lt A \leqq 180°   ⇨   \cos A \lt 0$

が成立しますね。またa,b,cは辺なため、正の数です。

つまり

$0° \leqq A \lt 90°  ⇨   2bc\cos A \gt 0$

$A = 90°   ⇨   2bc\cos A = 0$

$90° \lt A \leqq 180°   ⇨   2bc\cos A \lt 0$

が成立するわけですよ。

 

そして

$0° \leqq A \lt 90°$  ⇨   Aは鋭角

$A = 90°$  ⇨   Aは直角

$90° \lt A \leqq 180°$   ⇨   Aは鈍角

と言います。以上のことから次の法則が成り立ちます。

において

Aが鋭角　⇔　$a^2 \lt b^2+c^2$

Aが直角　⇔　$a^2 = b^2+c^2$

Aが鈍角　⇔　$a^2 \gt b^2+c^2$

 

正弦定理の証明

$\frac{a}{\sin A}=2R$を証明します。

Aが鋭角か鈍角かで分けます。

 

Aが鋭角の場合

 

 

こちらの外接円を用いて説明します。

こちらの三角形に注目しましょう。

 

θについて、三角形の内角の合計が180°なので

$θ+A+90°=180°$

$θ=90°-A$

また

 

$R \times \cosθ=\frac{a}{2}$

⇩（両辺×2）

$2R \times \cos θ=a$

⇩（式変形）

$2R = \frac{a}{\cos θ}$

⇩（θ=90°-A）

$2R = \frac{a}{\cos(90°-A)}$

⇩（$\cos (90°-A)=\sin A$）

$2R = \frac{a}{\sin A}$

 

これで証明完了です。

 

Aが鈍角の場合

 

こちらを使います。

次のような三角形を考えます。

$\cos θ=\frac{\frac{a}{2}}{R}$

また三角形の内角の和が180°より

$θ+θ+(360°-2A)=180°$

$θ=A-90°$

よって

$\cos (A-90°)=\frac{\frac{a}{2}}{R}$

ここで$\cos(-θ)=cos θ$なので$\cos(A-90°)=\cos(90°-A)$

つまり

$\cos (90°-A)=\frac{\frac{a}{2}}{R}$

⇩（両辺×R）

$R\cos(90°-A)=\frac{a}{2}$

⇩（両辺×2）

$2R\cos(90°-A)=a$

⇩（両辺÷$\cos(90°-A)$）

$2R=\frac{a}{\cos(90°-A)}$

 

 

 

余弦定理の証明

次は余弦定理の証明です。

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$を証明します。

 

Aが鋭角の場合

 

この三角形を使って証明します。

まずは１本の線を引きます。

そして２本の辺を定義します。

三平方の定理より$a^2=p^2+q^2$

p,qについて

$p=c-b\cos A$

$q=b\sin A$

 

代入して

$a^2=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2$

⇩（展開）

$a^2=c^2-2bc\cos A +b^2\cos^2 A +b^2\sin^2 A$

⇩（カッコで括る）

$a^2=c^2-2bc\cos A +b^2(\sin^2 A +\cos^2 A)$

⇩（$\sin^2 A +\cos^2 A =1$）

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

 

Aが鈍角の場合

 

この三角形を使って証明します。

まずは線を付け加えて準備します。

そしてp,qを定義します。

三平方の定理より$a^2=p^2+q^2$

 

p,qについて

$p-b=c\cos (180°-A)$

⇩（bを移項）

$p=b+c\cos(180°-A)$

 

$q=c\sin (180°-A)$

 

ここで、$\sin(180°-A)=\sin A$、$\cos(180°-A)=-\cos A$より

$p=b-c\cos A$

$q=c\sin A$

 

これらを代入して

$a^2=(b-c\cos A)^2 + (c\sin A)^2$

⇩（展開）

$a^2=b^2-2bc\cos A +c^2\cos^2 A +c^2\sin^2 A$

⇩（カッコで括る）

$a^2=b^2-2bc\cos A +c^2(\sin^2 A +\cos^2 A)$

⇩（$\sin^2 A +\cos^2 A =1$）

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

 

 

最後に

今回紹介した定理は必ず覚えてください。

この分野では必須の定理です。

次はこの定理を利用する問題を解説したいと思います。