みなさんおはこんばんにちは。
寒すぎて冬眠しそうなジルでございます！
今回は三角比の拡張についての練習問題をいくつか用意しました！
次の不等式を解きなさい。
今回は$0° \leqq θ \leqq 180°$とする。
この問題を解くには
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この知識が必要になります。
この辺り忘れた方へ、こちらの記事をぷれぜんとふぉーゆー
（１）$\cos θ \gt \frac{\sqrt{3}}{2}$
ここでこのパターンの問題の解き方手順を書き記します。
②簡単な図を書く。 ←慣れれば省略してもオッケー
大抵これで大丈夫です(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
今回出題した問題は全てこれを使って解きます。
①$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。$(0° \leqq θ \leqq 180°)$
この三角形パターンなので、$θ=30°$です。
三平方の定理にて出てくる定番の三角形ですね？忘れてないですか？必ず覚えてください！
②$\cos θ$は次のように変化していくため
$\cos θ \gt 0$を満たす範囲は次の赤色部分です。
したがって$0° \leqq θ \lt 30°$
（２）$\sin θ \geqq \frac{1}{2}$
①$\sin θ = \frac{1}{2}$を解きます。$(0° \leqq θ \leqq 180°)$
この２箇所ですね？
したがって$θ=30°,150°$
②$\sin θ$は次のように変化していくため
よって次の赤色部分です。
つまり$30° \leqq θ \leqq 150°$
（３）$\sin θ \lt \frac{1}{\sqrt{2}}$
①$\sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$を解きます。$(0° \leqq θ \leqq 180°)$
これは次のパターンになります。
したがって$θ=45°,135°$
先ほどと同じく、三平方の定理で頻出した三角形ですね。
②$\sin θ$は次の変化なので
$\sin θ \lt \frac{1}{\sqrt{2}}$を満たすのは次の赤色部分です。
したがって$0° \leqq θ \lt 45°$、$135° \lt θ \leqq 180°$
この解答を見ると
$\lt$と$leqq$、$\gt$と$\geqq$を使い分けてますね？
この辺りはしっかり意識しましょう。
（４）$-\sqrt{3} \lt \tan θ \leqq 1$
①$\tan θ=-\sqrt{3}$と$\tan θ=1$（$0° \leqq θ \leqq 180°$）を解くと
$\tan θ=-\sqrt{3}$
これを満たす三角形は
です。よって$θ=120°$
$\tan θ=1$
これを満たす三角形は
です。よって$\tan θ=45°$
②$\tan θ$については先ほどお話しした通り$0° \leqq θ \lt 90°$と$90° \lt θ ¥leqq 180°$でパターンが変わってきます。
①で出した$θ=45°$、$θ=135°$はそれぞれ$0° \leqq θ \lt 90°$、$90° \lt θ 180°$の範囲内なのでそれぞれ分けて考えます。
$-\sqrt{3} \lt \tan θ$の場合
$\tan θ （90° \lt θ \leqq 180°）は次のように変化します。
$\tan θ = -\sqrt{3}$の時$θ=120°$なのでこれを満たす範囲は次の部分です。
したがって$120° \lt θ \leqq 180°$
$\tan θ \leqq 1$の場合
$\tan θ （0° \lt θ \leqq 90°）は次のように変化します。
$\tan θ = 1$の時$θ=45°$なのでこれを満たす範囲は次の部分です。
したがって$0° \leqq θ \lt 45°$
以上のことから答えは$0° \leqq θ \lt 45°$、$120° \lt θ \leqq 180°$
最後に
しっかり図を書いて解くと理解しやすいかと思います。
めんどくさいかもですが図は書いたほうがいいです。
楽しい数学Lifeを！
