【高校数A】『集合の要素の個数』を求める問題を元数学科が解いてみた！【苦手克服】

前回は『集合の要素の個数』の基礎中の基礎を解説しました。

最後に簡単な練習問題を解いてみましたが、今回は少しだけ前より難しいのをやってみましょう！

テーマは『要素が数えられないくらい多いパターンの問題』です。

問題

200以上500以下の自然数のうち、次の条件を満たす数は何個あるか答えなさい。

（１）6の倍数

（２）9の倍数

（３）6の倍数または9の倍数

（４）6の倍数でも9の倍数でもない数

（５）6の倍数ではあってかつ9の倍数でない数

 

解説に進む前に必要な知識や考え方を書き記します。

「とっとと解説みたい！」方はこちらからどうぞ！

考え方・アドバイス・知識

その①：ベン図を書こう！

面倒かもですがベン図は必ず書きましょう。

ほんとに簡単な問題ならベン図なしでも問題ないですが、基本的にはベン図は書いた方がいいです。

 

その②：「以上」「以下」「から」「まで」「未満」「より大きい」「より小さい」の使い分け

数学の問題において例えば５について「５以上」「５以下」「５から」「５まで」「５未満」「５より大きい」「５より小さい」と言われた時、５は含まれるかどうか分かっていますか？

今までなんとなくやり過ごしていませんでしたか？ここらで一度しっかり確認しましょう！

問題によっては重要になるので理解しておいてください。

 

その③：『ある範囲内の〇〇の倍数の数』の求め方

具体例を出して考えてみます。

『１００から２００までの３の倍数の数』を求めてみましょう。

手順その１…１００を３で割る（１００までの３の倍数を求める）

$100 \div 3 =33 …1$

つまり、出た商＋１から範囲に入ります。

手順その２…２００を３で割る（２００までの３の倍数を求める）

$200 \div 3 =66…2$

つまり出た商までが範囲に入ります。

まとめると

つまり3の倍数で100から200の範囲に入っているのは34番目の102〜66番目の198になります。

手順その３…数を数える

 

先程まとめた画像を使って計算すればOKです！計算方法は

（右端の丸）ー（左端の丸）＋１

つまり

$66-34+1=33$

 

解答

前説がずいぶん長くなってしまいましたが、解答いきます。

（１）6の倍数

先程述べた「その③：『ある範囲内の〇〇の倍数の数』の求め方」の考え方を利用すれば楽勝です。

$200 \div 6=33…2$

$500 \div 6=83…2$

つまり

したがって

$83 – 34 +1= 50$

答えは50

 

（２）9の倍数

これも（１）と同じく「その③：『ある範囲内の〇〇の倍数の数』の求め方」を利用しましょう！

$200 \div 9=22…2$

$500 \div 9=55…5$

したがって

$55-23+1=33$

答えは33

 

（３）6の倍数または9の倍数

分かりやすく解説するために次を定義します。

$U={200以上500以下の自然数の集合}$

$A={6の倍数の集合} \subset U$

$B={9の倍数の集合} \subset U$

今回求めたい個数が「200以上500以下で、6の倍数または９の倍数」なのでつまり

$n(A \cup B)$ですね。

ここで確認したいのが

和集合の要素の個数の求め方です。

最大公約数（さいだいこうやくすう、英: greatest common divisor）とは、少なくとも一つが0ではない複数の整数の公約数のうち最大の数を指す。具体的にはユークリッドの互除法により求めることができる。
「キリスト教」『フリー百科事典　ウィキペディア日本語版』。2021年4月14日 (水) 03:09　UTC、URL: https://ja.wikipedia.org

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$であるため

$n(A)=50$、$n(B)=33$、$n(A \cap B)=16$を代入して

$n(A \cup B)=50+33-16=67$

答えは67

 

（４）6の倍数でも9の倍数でもない数

まずはベン図を書きましょう。今回求めたい部分は斜線のところ

一目でわかりますね？

$n(U)-n(A \cup B)$

$n(A \cup B)=16$は（３）で求めましたので、

$n(U)-n(A \cup B)=301-67=234$

答えは234

（５）6の倍数ではあってかつ9の倍数でない数

こちらも文字だけではわかりづらいためベン図を書きましょう。

すると求めるには

$n(A)-n(A \cap B)$を計算すればいいことがわかりますね？

$n(A)=50$、$n(A \cap B)=16$をさきほど求めたため

$n(A)-n(A \cap B)=50-16=34$

答えは34

 

最後に

今回は要素の個数の求め方をしっかり解説しました。